Liczba π (inaczej ludolfina - od imienia holenderskiego matematyka Ludolfa van Ceulena, 1539-1610) określa stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy. Jest to liczba niewymierna i w praktyce operujemy tylko jej, mniej lub bardziej dokładnym, przybliżeniem, np.:
3,141 592 653 589 793 238 462 643
Gdyby dla kogoś było to za mało dokładnie, to stąd może ściągnąć plik tekstowy zawierający dokładniejsze przybliżenie : 500 tysięcy cyfr po przecinku.
Zafascynowanym magią liczb podaję od razu kilka informacji.
Częstości występowania poszczególnych cyfr są zbliżone: cyfra 0 - 49.915 razy, 1 - 49.984, 2 - 49.752, 3 - 50.000, 4 - 50.357, 5 - 50.235, 6 - 49.825, 7 - 50.230, 8 - 49.911, 9 - 49.791. Na pozycjach 763-768 można zauważyć sześć kolejnych dziewiątek. Dziewiątki występują jeszcze raz w takim zestawie, poza tym po dwa razy cyfry 5 i 7 oraz po jednym razie cyfry 1, 6 i 8.
Jeśli ktoś uważa, że system dziesiętny jest sztuczny i nieodpowiedni do "poważnych" analiz, to tutaj jest plik z milionem cyfr w rozwinięciu dwójkowym (500.279 zer i 499.721 jedynek), a tutaj ćwierć miliona cyfr w systemie szesnastkowym.
W tym ostatnim rozwinięciu wyróżnia się nieco cyfra "4" - występuje tylko 15.261 razy. Pozostałe cyfry: 0 - 15.742, 1 - 15.712, 2 - 15.643, 3 - 15.690, 5 - 15.739, 6 - 15.773, 7 - 15.545, 8 - 15.591, 9 - 15.725, a - 15.580, b - 15.597, c - 15.688, d - 15.643, e - 15.515, f - 15.556.
Liczbę π można przedstawić za pomocą sumy szeregu nieskończonego lub iloczynu nieskończonego. Znane są m.in. następujące rozwinięcia tej liczby:
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716)
A).
π
4
= 1 -
1
3
+
1
5
-
1
7
+
1
9
-
1
11
+ . . .
czyli:
π= 4 -
4
3
+
4
5
-
4
7
+
4
9
-
4
11
+ . . .
Wzór ten, odkryty przez Leibniza, otrzymuje się po rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji y = arctg x i podstawieniu x = 1 ( arctg 1 = π/4 ).
B).
π
2
= 1 +
1
2
.
1
3
+
1
2
.
3
4
.
1
5
+
1
2
.
3
4
.
5
6
.
1
7
+
1
2
.
3
4
.
5
6
.
7
8
.
1
9
+ . . .
czyli:
π= 2 +
1
3
+
3
4
.
1
5
+
3
4
.
5
6
.
1
7
+
3
4
.
5
6
.
7
8
.
1
9
+
3
4
.
5
6
.
7
8
.
9
10
.
1
11
+ . . .
To także rozwinięcie w szereg Maclaurina, ale tym razem funkcji y = arcsin x ( arcsin 1 = π/2 ).
John Wallis (1616 - 1703)
C). Wzór odkryty przez Johna Wallisa:
π= 2 .
2
1
.
2
3
.
4
3
.
4
5
.
6
5
.
6
7
.
8
7
. . .
D).
π2
6
=
1
12
+
1
22
+
1
32
+
1
42
+
1
52
+ . . .
czyli:
π2=
6+
6
22
+
6
32
+
6
42
+
6
52
+ . . .
Leonhard Euler (1707 - 1784)
To rozwinięcie, odkryte przez Eulera, otrzymuje się z teorii tzw. szeregów trygonometrycznych.
E).
π2
8
= 1 +
1
32
+
1
52
+
1
72
+
1
92
+ . . .
czyli:
π2= 8 +
8
32
+
8
52
+
8
72
+
8
92
+ . . .
Tutaj również skorzystano z szeregów trygonometrycznych.
Z równości D oraz E (mnożąc drugi z wzorów obustronnie przez 2 i następnie odejmując obydwa wzory stronami) można uzyskać jeszcze inny zapis liczby π:
F).
π2= 12 -
12
22
+
12
32
-
12
42
+
12
52
- . . .
Szeregi B, D oraz E są monotoniczne - stale rosnące, natomiast szeregi A i F są przemienne.
Podobnie jak szereg przemienny zachowuje się także iloczyn Wallisa: kolejne czynniki (ułamki) są naprzemian większe i mniejsze od jedności.
Jak widać z poniższej tabeli, najszybciej otrzymuje się dokładniejsze przybliżenia liczby π, korzystając ze wzoru F (kolorem niebieskim oznaczono cyfry poprawne):
Wartości liczby π obliczone za pomocą poszczególnych wzorów
Liczba wyrazów szeregu uwzględniona w obliczeniu
10
100
1.000
10.000
A)
4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 +...
3,041
3,1315
3,140592
3,14149265
B)
2 + 1/3 + 3/4 * 1/5 +...
2,783
3,0287
3,10590
3,13030881
C)
2 * 2/1 * 2/3 * 4/3 * ...
3,002
3,1260
3,140023
3,14143559
D)
(6 + 6/22 + 6/32 + ...)1/2
3,049
3,1320
3,140638
3,14149716
E)
(8 + 8/32 + 8/52 + ...)1/2
3,109
3,1384
3,141274
3,14156082
F)
(12 - 12/22 + 12/32 - ...)1/2
3,132
3,1414
3,141591
3,14159264
Takie obliczenia liczby π, z dokładnością nie przekraczającą 14 cyfr po przecinku, można łatwo i szybko wykonywać w Excelu (formuły opisujące wybrany szereg, wpisane w jednym wierszu, kopiujemy przez kilka czy kilkanaście tysięcy wierszy).
Do obliczania dalszych cyfr rozwinięcia liczby π, "normalna" komputerowa matematyka już nie wystarczy. Konieczne tu jest zastosowanie specjalnych "sposobów" umożliwiających wykonywanie działań arytmetycznych na liczbach o setkach, tysiącach czy setkach tysięcy cyfr. Przykład takiego superkalkulatora można zobaczyć tutaj.
Już spoglądając na zamieszczony wyżej wykres, staje się jasne, że w przypadku szeregu przemiennego lepsze przybliżenie otrzymamy gdy obliczymy średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich sum cząstkowych szeregu (wartość liczby π znajduje się zawsze pomiędzy dwoma kolejnymi sumami cząstkowymi). Tak samo będzie przy korzystaniu z iloczynu Wallisa, z tym, że tutaj wypadałoby stosować średnią geometryczną.
To było oczywiste. Mniej oczywistym jest, że jeszcze lepsze przybliżenia będziemy otrzymywać obliczając średnie z tych średnich itd.
Oznaczmy przez Sn sumę pierwszych n wyrazów szeregu, a przez Śrnk średnią rzędu k obliczoną na poziomie n-tego wyrazu. Dla szeregu A (4 - 4/3 + 4/5...) będziemy mieli:
S1 = 4
S2 = 4 - 4/3
Śr21 = (S1 + S2)/2
S3 = 4 - 4/3 + 4/5
Śr31 = (S2 + S3)/2
Śr32 = (Śr21 + Śr31)/2
S4 = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7
Śr41 = (S3 + S4)/2
Śr42 = (Śr31 + Śr41)/2
Śr43 = (Śr32 + Śr42)/2
i tak dalej ...
Dociekliwy sprawdzi, że np. Śr43 = (8a1 + 7a2 + 4a3 + a4)/8, gdzie an to n-ty wyraz szeregu (a1 = 4, a2 = -4/3 itd.).
Obliczając z szeregu A sumę cząstkową 30 wyrazów otrzymamy S30 = 3,108268, a z 31 wyrazów: S31 = 3,17384. Średnia pierwszego rzędu wyniesie tutaj: Śr311 = (S30 + S31)/2 = 3,141055. Powtarzając 15-krotnie obliczanie średniej arytmetycznej otrzymamy z tych pierwszych 31 wyrazów wartość Śr3115 = 3,141592653589787. Oznacza to, że wystarcza tylko 31 wyrazów tego szeregu aby otrzymać lepsze przybliżenie liczby π, niż z 10000 wyrazów szeregu F.
Bardzo dociekliwy oczywiście spróbuje wyrazić Śr3115 za pomocą wyrazów a1 ... a31 szeregu. :)
