Colin Maclaurin
  • Panopticum - strona główna
    •
  • Obliczanie liczby π
    •

    Wzór Maclaurina


    Szkocki matematyk Colin Maclaurin (1698 - 1746) użył tego wzoru, stanowiącego szczególny przypadek wzoru Taylora, w swoim dużym dziele (2 tomy, 763 stron) "Treatise of fluxions", opublikowanym w 1742r.

    Jeżeli funkcja f(x) ma w przedziale [0,x] wszystkie pochodne, to:

    f(x) = f(0)  +   
    f'(0)
    1!
    		 . x  +  
    f''(0)
    2!
    		 . x2  +  
    f'''(0)
    3!
    		 . x3  +   . . .

     Wzór ten stosuje się przede wszystkim dla funkcji, których kolejnymi pochodnymi (w szczególności pochodnymi w punkcie x=0) rządzi prosta prawidłowość.

    Przykładowo pierwsza pochodna funkcji  f(x) = sinx  to:   (sinx)' = cosx. Wartość tej pochodnej w punkcie x=0 będzie wynosiła: f'(0) = 1  (bo cos(0) = 1).
    Pierwsza pochodna funkcji  g(x) = cosx  to: (cosx)' = -sinx a wartość tej pochodnej dla x=0 wyniesie g'(0) = 0  (bo -sin(0)=0).
    Kolejne pochodne funkcji f(x) = sinx będą zatem wynosić:
    2. pochodna:    (sinx)'' = (cosx)' = -sinx
    3. pochodna:    (sinx)''' = (cosx)'' = (-sinx)' = -cosx
    4. pochodna:    (sinx)'''' = (cosx)''' = (-sinx)'' = (-cosx)' = sinx
    5. pochodna:    (sinx)''''' = (cosx)'''' = (-sinx)''' = (-cosx)'' = (sinx)' = cosx

     W punkcie x=0 (kąt równy zeru) wartości pochodnych funkcji f(x) = sinx będą się więc zmieniały cyklicznie:

    f'(0) = 1 (cos0 = 1),    f''(0) = 0,    f'''(0) = -1,    f''''(0) = 0,    f'''''(0) = 1,   itd.

    Wykorzystując wzór Maclaurina możemy więc zapisać (pozostaje tutaj tylko co drugi wyraz szeregu, bo wszystkie pochodne rzędu parzystego są równe zeru):

    sinx  =  
    x
    1!
    		   -  
    x3
    3!
    		   +  
    x5
    5!
    		   -  
    x7
    7!
    		   +  
    x9
    9!
    		   -  
    x11
    11!
    		   +   . . .
    (wartość x oczywiście w mierze łukowej kąta, czyli w radianach)

    W podobny sposób, w formie szeregów, można przedstawić wiele innych funkcji. Najłatwiej jest to chyba zrobić z funkcją:
    f(x) = ex   gdzie: e - podstawa logarytmów naturalnych,

    gdyż pochodna tej funkcji jest jej równa: (ex)' = ex , a wszystkie pochodne dla x = 0 są równe jedności ( e0 = 1 ).
    Wyrażenie ex można więc przedstawić w formie szeregu:
    ex  =   1  +  
    x1
    1!
    		   +  
    x2
    2!
    		   +  
    x3
    3!
    		   +  
    x4
    4!
    		   +  
    x5
    5!
    		   +   . . .

    Ten ostatni szereg może nam posłużyć do wyznaczania wartości liczby e z dowolną dokładnością ( podstawiamy x = 1 ):
    e  =   1  +  
    1
    1!
    		   +  
    1
    2!
    		   +  
    1
    3!
    		   +  
    1
    4!
    		   +  
    1
    5!
    		   +   . . .