Krzywiznę powierzchni (przestrzeni dwuwymiarowej) można opisać dość prosto.
Określa się tutaj tzw. krzywiznę Gaussa:

W przypadku wielowymiarowych przestrzeni sprawa jest już bardziej złożona.
W polu Faradaya każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowany jest zbiór liczb określających wartość siły w tym punkcie. Riemann wpadł na pomysł, aby każdemu punktowi przyporządkować zbiór liczb opisujących ściśle zakrzywienie przestrzeni w tym punkcie. Dla przestrzeni dwuwymiarowej (powierzchni) potrzeba do tego celu trzech liczb w każdym punkcie. W przestrzeni czterowymiarowej konieczny jest zbiór dziesięciu liczb.
Liczby te oznaczane przez g₁₁, g₁₂, g₁₃, ... (w n-wymiarowej przestrzeni wskaźniki zmieniamy od 1 do n) można ułożyć w symetryczną macierz kwadratową:

Spośród szesnastu liczb (dla przestrzeni czterowymiarowej) sześć składników powtarza się (g_ij = g_ji) i w rzeczywistości występuje tylko dziesięć niezależnych elementów.
Ten zbiór liczb zwany jest tensorem metrycznym.

Ogólnie można powiedzieć, że im większa wartość elementów tensora, tym większe zakrzywienie przestrzeni. Dla każdej przestrzeni niezakrzywionej tensor metryczny może być, poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych, doprowadzony do postaci, w której wszystkie wyrazy pozadiagonalne (o różnych indeksach) zerują się, a wyrazy położone na przekątnej mają wartość absolutną równą jeden. Dla przestrzeni zakrzywionych takiego przekształcenia nie da się wykonać.

Dla trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej (niezakrzywionej) w kartezjańskim układzie współrzędnych tensor metryczny ma postać:

    Tensor metryczny dla danego punktu w przestrzeni określa lokalną zależność między odległością dwóch punktów (ściśle mówiąc: różniczką odległości) a współrzędnymi (różniczkami współrzędnych) tych punktów:

Dla niezakrzywionej przestrzeni dwuwymiarowej, czyli zwykłej płaszczyzny euklidesowej, we współrzędnych kartezjańskich tensor metryczny dany jest przez:

    Z tensora metrycznego konstruuje się tensor krzywizny zwany tensorem Riemanna-Christoffela, stosowany dla opisu krzywizny czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Zagadnienie tu staje się jednak bardziej skomplikowane i podarujemy sobie szczegółową analizę.
W tensorze tym wykorzystuje się pochodne składowych tensora metrycznego oraz tzw. symbole Christoffela. Stosuje się tutaj tzw. pochodne kowariantne, gdyż zwykła definicja pochodnej przestrzennej staje się nieprzydatna w przestrzeni nieeuklidesowej (zakrzywionej).
Dla zaspokojenia ciekawości przytaczam tylko same wzory (wskaźniki są indeksami o wartościach od 1 do 4 - czterowymiarowa czasoprzestrzeń).

Oznaczając średnikiem kowariantne różniczkowanie, pochodną kowariantną można zdefiniować:

gdzie jest dowolnym wektorem.
Można powiedzieć, że różniczkowanie kowariantne jest nieprzemienne o wartość będącą iloczynem różniczkowanego wektora i tensora krzywizny.
Za pomocą symboli Christoffela tensor krzywizny można zdefiniować w postaci:

do góry