Przestrzenie zakrzywione i wielowymiarowe

Tradycyjna geometria euklidesowa operuje tylko na przestrzeniach niezakrzywionych. Obowiązuje tutaj szereg zasad, jak np:

suma kątów w trójkącie wynosi zawsze 180^o
przez punkt leżący poza prostą można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej prostej; te proste równoległe nigdy się nie przecinają.

W przypadku przestrzeni zakrzywionych zasady te przestają obowiązywać.

Powierzchnia kuli jest powierzchnią zakrzywioną (dokładniej: o dodatniej krzywiźnie). Na tej powierzchni odcinek łączący dwa punkty (najkrótsza odległość między tymi punktami) leży na wielkim kole (o środku pokrywającym się ze środkiem kuli) przechodzącym przez te punkty. Odpowiednikiem linii prostej na powierzchni kuli jest zawsze wielkie koło.
Na takiej powierzchni każde dwie "proste" przecinają się, a suma kątów w trójkącie jest większa od 180^o (patrz rysunek).

Mogą także występować powierzchnie o ujemnej krzywiźnie (siodło). W przypadku takiej powierzchni suma kątów w trójkącie będzie mniejsza od 180^o a przez punkt leżący poza prostą można poprowadzić nieskończoną ilość linii równoległych do tej prostej.
Z matematycznym opisem przestrzeni o większej liczbie wymiarów nie ma zbytnich trudności (jest nieco więcej pisania).
Dla przykłądu, długość przekątnej kwadratu (figura dwuwymiarowa) o boku a to: p = (a² + a²)^1/2 = a^.2^1/2
Przekątna sześcianu (bryła trójwymiarowa) o boku a to: p = (a² + a² + a²)^1/2 = a^.3^1/2.
Przekątna odpowiedniej bryły w przestrzeni 4-wymiarowej (należałoby wyobrazić sobie taką bryłę ograniczoną ośmioma sześcianami!) będzie wynosiła: p = (a² + a² + a² + a²)^1/2 = a^.4^1/2 = 2a.

Przestrzenie takie sprawiają natomiast inną trudność: nie możemy sobie wyobrazić czwartego wymiaru! Słynny fizyk niemiecki Hermann von Helmholtz stwierdzał: "Takie wyobrażenie jest niemożliwe tak jak niemożliwe jest wyobrażenie sobie kolorów przez osobę, która urodziła się niewidoma".
Wymyślano różne metody umożliwiające "zobaczenie" czterowymiarowych obiektów. Zasłużył się szczególnie na tym polu angielski fizyk, mieszkający później w USA, Charles Hinton. Do języka wszedł nawet wymyślony przez niego termin "tesserakt" na określenie rozwinięcia czterowymiarowego "hipersześcianu" w przestrzeni trójwymiarowej.

Hipotetyczne istoty jednowymiarowe, żyjące na linii prostej, nie mogą sobie wyobrazić figury dwuwymiarowej - kwadratu. Dla nich cały świat to tylko ta linia prosta, na której może znajdować się w danej chwili tylko jeden z boków kwadratu. Ale rozwinięcie kwadratu w postaci czterech odcinków można już w całości umieścić na tej prostej.

Podobnie rozwinięcie bryły trójwymiarowej - sześcianu, możemy umieścić na płaszczyźnie (w przestrzeni dwuwymiarowej).

Tesserakt - rozwinięcie czterowymiarowego "hipersześcianu" w naszej trójwymiarowej przestrzeni - wygląda tak:

Sześciany wydają się nieruchome, ale czterowymiarowa istota w swoim czterowymiarowym świecie potrafiłaby je "zwinąć" w hipersześcian.

Do popularności tych zagadnień pod koniec XIX wieku przyczynił się m.in. proces przeprowadzony w 1877 roku przed londyńskim sądem, w którym oskarżonym był Henry Slade, medium ze Stanów Zjednoczonych. Po pokazach parapsychologicznych Slade został aresztowany za oszustwo i oskarżony o używanie sprytnych sposobów i sztuczek mających wprowadzić w błąd klientów.
Proces zwrócił powszechną uwagę, gdyż w obronie Slade'a wystąpiła grupa sławnych fizyków (m.in. J.Zöllner - profesor z Uniwersytetu w Lipsku, W.Crookes - wynalazca lampy katodowej, W.Weber - ten od jednostki strumienia indukcji magnetycznej, J.Thompson - odkrywca elektronu, noblista, lord Rayleigh - noblista).

Uczeni ci dowodzili, że parapsychologiczne wyczyny Slade'a można wyjaśnić przy pomocy czwartego wymiaru. Manipulując czterowymiarową przestrzenią można by przeprowadzać takie sztuczki, jak wyjmowanie przedmiotów z zamkniętych butelek bez ich otwierania, usuwanie bądź tworzenie węzłów na zamkniętej pętli liny, rodzielanie dwóch złączonych pierścieni bez ich przecinania itp.
Dla mieszkańca dwuwymiarowego świata niemożliwe byłoby wyjęcie przedmiotu z butelki takiej jak na rysunku, bez jej otwarcia. Ale korzystając z trzeciego wymiaru można po prostu unieść ten przedmiot (w tym momencie zniknie on z oczu "płaszczakom") i położyć w innym miejscu poza butelką (pojawi się znowu w świecie "płaszczaków").