Minima i maksima funkcji



Pochodna funkcji charakteryzuje jej "zachowanie się": pochodna większa od zera dla jakiejś wartości x oznacza, że funkcja w tym punkcie jest rosnąca (gdy zwiększa się x to zwiększa się i wartość funkcji) a pochodną ujemną otrzymamy przy funkcji malejącej. Ściśle biorąc, wartość pochodnej równa jest tangensowi kąta zawartego między styczną do krzywej w danym punkcie oraz osią x.
I to w zasadzie powinno nam wystarczyć, aby - korzystając tylko z naszej wyobraźni - określić sposób znajdowania ekstremum (maksimum lub minimum) funkcji w typowych przypadkach.
Pierwsze, co nam się nasuwa to odkrycie, że tam gdzie jest maksimum lub minimum, pochodna musi być równa zeru (styczna do krzywej w tym punkcie jest równoległa do osi x). Jest to warunek konieczny (ale niewystarczający) dla istnienia ekstremum.
Jeśli w punkcie x0 jest minimum, to oznacza, że z lewej strony tego punktu funkcja jest malejąca (czyli pochodna y' jest ujemna) a z prawej strony - rosnąca ( y' > 0 ).
To natomiast oznacza, że funkcja y' będąca pochodną naszej pierwotnej funkcji, jest w danym punkcie rosnąca ( zmienia znak z "-" na "+" ). Jeśli funkcja y' jest rosnąca, to pochodna tejże funkcji, czyli druga pochodna y'', będzie dodatnia.

W przypadku maksimum, pierwsza pochodna y' jest funkcją malejącą (zmienia znak z "+" na "-"). To oznacza, że druga pochodna y'' będzie ujemna.
Możemy to podsumować.
Mamy jakąś funkcję i chcemy znaleźć jej maksima i minima. Obliczamy pierwszą pochodną i szukamy jej miejsc zerowych. Obliczamy drugą pochodną i sprawdzamy, jaką przyjmuje wartość po podstawieniu za x każdego ze znalezionych x0. Jeśli druga pochodna jest dodatnia, to w punkcie x = x0 jest minimum, a jeśli ujemna, to maksimum.
Przykłady jak na rysunkach:
y = x2 - 2 x + 0,5
y' = 2x - 2
2x - 2 = 0      ⇒      x0 = 1
y'' = 2
Druga pochodna jest większa od zera (zresztą niezależnie od wartości x), więc w punkcie x = 1 jest minimum.
y = - x2 + 2x + 0,5
y' = - 2x + 2
- 2x + 2 = 0      ⇒      x0 = 1
y'' = - 2
Druga pochodna ujemna, więc dla x = 1 mamy maksimum.

Ale może się zdarzyć, że druga pochodna też będzie równa zeru. Obliczamy więc kolejne pochodne tak długo, aż trafimy na pierwszą różną od zera dla x = x0. Jeśli to będzie pochodna rzędu parzystego, to mamy maksimum lub minimum (na takich samych warunkach jak przy drugiej pochodnej). Natomiast jeśli pierwsza różna od zera pochodna będzie rzędu nieparzystego (trzecia, piąta, ...) to w danym punkcie nie ma extremum, lecz jest punkt przegięcia.
y = x3 - 3x2 + 3x
y' = 3x2 - 6x + 3
3x2 - 6x + 3 = 0      ⇒      x0 = 1
y'' = 6x - 6
y''(1) = 0
y''' = 6
Pierwsza pochodna różna od zera jest rzędu nieparzystego (trzecia), więc w punkcie x = 1 istnieje punkt przegięcia.

W powyższy sposób są znajdowane extrema i punkty przegięcia w przykładzie zastosowania JavaScript "Badanie funkcji wielomianowych" (z małym zastrzeżeniem: jeżeli pierwsza pochodna jest wielomianem stopnia wyższego niż drugi, jego miejsca zerowe są znajdowane metodą kolejnych przybliżeń).

początek strony