Przedstawione tu poglądy niekoniecznie są zgodne z materiałem nauczanym w szkołach i nie należy przekonywać do nich swoich nauczycieli.
Nauczycielom często trudno jest zrozumieć nowatorskie idee, a coś, czego nie potrafią zrozumieć, mogą poczytać sobie za osobistą obrazę. : )
Równanie postaci:
Ax2 + Bx + Cy2 + Dy + Exy + F = 0 ,
gdzie przynajmniej jedna z liczb A, C, E jest różna od zera, zwane jest równaniem drugiego stopnia.
Występowanie wyrazu z "xy" ( E różne od zera ) świadczy o tym, że krzywa, będąca graficznym obrazem równania, obrócona jest o jakiś kąt względem układu współrzędnych.
Dla uproszczenia będziemy rozpatrywać tylko równania bez tego wyrazu (za pomocą kilku "drobnych" przeliczeń można znaleźć układ współrzędnych obrócony o odpowiedni kąt tak, że w tym układzie współczynnik przy "xy" będzie równy zeru i wyraz ten nie będzie występować).
Po tym uproszczeniu pozostaje nam równanie w postaci:
Ax2 + Bx + Cy2 + Dy + E = 0
Każde takie równanie przedstawia albo elipsę (w szczególnym wypadku okrąg), albo hiperbolę, albo parabolę, albo w przypadkach osobliwych: punkt, prostą, dwie proste lub zbiór pusty.
Zbiór pusty przedstawia np. równanie:
x2 + y2 + 1 = 0
gdyż nie posiada ono rozwiązań rzeczywistych, natomiast graficznym obrazem równania:
x2 + y2 = 0
jest jeden, jedyny punkt o współrzędnych (0,0), lub, jeśli ktoś woli, okrąg o środku w tym punkcie i zerowym promieniu.
Ale to były proste sytuacje, a w życiu, jak wiadomo, takie trafiają się rzadko. Normalnie spotykane równania drugiego stopnia są bardziej skomplikowane i trzeba trochę wysiłku aby stwierdzić, co one przedstawiają. Najprostszą metodą w takich wypadkach jest wpisanie współczynników równania do odpowiedniego formularza, np. takiego, jaki znajduje się tutaj.
Jeśli znajdzie się ktoś bardziej ambitny, to oczywiście może własnymi sposobami dochodzić prawdy.
Przypuszczalnie będzie wyczyniał z równaniem różne sztuczki w rodzaju dopełniania do kwadratu itd., byle tylko otrzymać jakiś twór w postaci np.:
a(x - xo)2 + b(y - yo)2 = 1 lub x - xo = a(y - yo)2
domyślając się słusznie, że liczby xo oraz yo określają przesunięcie wykresu krzywej względem początku układu współrzędnych wzdłuż osi x oraz y , natomiast współczynniki a oraz b (ściślej pierwiastki z tych liczb) - stopień przeskalowania (spłaszczenia lub rozciągnięcia) krzywej wzdłuż tych osi.
Elipsa
Pierwszy z tych tworów, jeśli liczby a i b są dodatnie, przedstawia elipsę - jajowatą krzywą, od której wszystko się zaczyna (wiadomo już, co było pierwsze: jajko czy kura).
Równanie elipsy doprowadza się zazwyczaj do postaci:
(x - xo)2
a2
+
(y - yo)2
b2
= 1
gdzie xo i yo to przesunięcie środka symetrii elipsy względem początku układu współrzędnych, natomiast a oraz b - to długości półosi elipsy.
Odległość ognisk od środka symetrii elipsy, czyli c , można obliczyć z zależności: c2 = a2 - b2 .
Jeśli a = b to mamy oczywiście okrąg o promieniu r = a = b , którego równanie zapisujemy z wygodnictwa w postaci:
(x - xo)2 + (y - yo)2 = r2 .
Ogniska elipsy, jak sama nazwa mówi, to takie miejsca, skąd wychodzą, lub gdzie skupiają (ogniskują) się promienie, tzn. każdy promień wychodzący z jednego ogniska, po odbiciu od elipsy trafia do drugiego ogniska. Dodatkowo, każdy z tych promieni przebywa taką samą drogę, równą 2a ; wysoce uczeni mówią na to, że suma promieni wodzących elipsy (odległości punktu leżącego na elipsie od jej ognisk) jest stała.
Gdy się przyjrzeć drodze dowolnego promienia wychodzącego z któregoś ogniska, widoczne jest już po kilku odbiciach od elipsy, że jego trasa zaczyna zbliżać się do przebiegu długiej osi. Gdybyśmy w ognisku elipsoidy, wypolerowanej od wewnątrz, a posiadającej na jednym końcu długiej osi maleńki otworek, umieścili świecącą żarówkę, uzyskalibyśmy cieniutką strużkę silnego, "laserowego" światła.
Wygląda na to, że w tym układzie entropia (stopień nieuporządkowania), wbrew drugiej zasadzie termodynamiki, maleje !
Parabola
Z takiej jajowatej krzywej bardzo łatwo jest uzyskać inny twór: parabolę. Wystarczy, że dobrze przymocujemy elipsę za jedno z ognisk i znajdziemy kogoś, kto będzie odciągać drugie ognisko w miarę daleko.
Konieczne jest, aby ten ktoś nie zniechęcił się, zanim nie znajdzie się w odpowiedniej odległości:
Równanie otrzymanej w ten prosty sposób krzywej zapisać można w postaci:
x - xo = a(y - yo)2 lub (y - yo)2 = 2p(x - xo)
Liczby xo i yo określają przesunięcie wierzchołka paraboli względem początku układu współrzędnych, natomiast wielkość 2p nosi dumną nazwę parametru paraboli. Czwarta część tego parametru, czyli p/2 , to odległość ogniska od wierzchołka paraboli.
Uczeni wymyślili jeszcze tzw. kierownicę paraboli, czyli prostą przebiegającą też w odległości p/2 od wierzchołka paraboli, ale z drugiej strony.
W paraboli, podobnie jak w elipsie, wszystkie promienie wychodzące z ogniska zbiegają się w drugim ognisku (znajdującym się, jak pamiętamy, w nieskończoności), przebywając taka samą, nieskończenie długą drogę. Dlatego też są one, po odbiciu od paraboli, równoległe do siebie i osi symetrii krzywej. Gdyby nie były równoległe, to albo zbiegły by się z sobą za szybko, albo ciągle oddalałyby się od siebie.
Oczywiście, równoległe promienie biegnące w przeciwnym kierunku skupiają się również w ognisku.
Sprytni ludzie wykorzystują tę własność paraboli w budowie reflektorów, czy też różnego rodzaju anten nadawczych i odbiorczych.
Wspomniana wyżej kierownica paraboli została wymyślona tylko w tym celu, aby można było mówić, że parabola to zbiór punktów jednakowo oddalonych od punktu zwanego ogniskiem i prostej zwanej kierownicą. Rozsądny człowiek, po przyjrzeniu się rysunkowi, zauważy od razu, że ta własność paraboli nie jest żadnym ewenementem, bo wynika po prostu z zasady jednakowej drogi promieni wychodzących z ogniska i trafiających po odbiciu od krzywej do drugiego ogniska. Kierownica została usytuowana właśnie tak, aby jej odległość od drugiego ogniska (tego w nieskończoności) była równa drodze przebywanej przez promienie.
Hiperbola
Gdy tego kogoś, kto nam rozciągał elipsę, nie zadowoli dotarcie do nieskończoności i pokona jeszcze raz taką samą drogę, wróci znowu do nas, ale z przeciwnej strony (wiadomo, że przestrzeń jest zakrzywiona). Sprezentuje nam w ten sposób następną krzywą - hiperbolę.
Równanie hiperboli jest podobne do równania elipsy - różni się tylko jednym znakiem:
(x - xo)2
a2
-
(y - yo)2
b2
= 1
W równaniu tym a to długość półosi rzeczywistej, natomiast b - długość tzw. półosi urojonej. Gdy komuś na tym zależy, to odległość ogniska od środka symetrii może obliczyć z zależności: c2 = a2 + b2.
Niestrudzeni w poszukiwaniach badacze tym razem nie odkryli kierownicy, ale zafundowali nam dwie inne proste, tzw. asymptoty (dawniej mówiono: niemal-styczne) o równaniach:
y - yo = k(x - xo)
oraz
y - yo = -k(x - xo)
gdzie: k = b/a.
Mając znowu do dyspozycji obydwa ogniska, posłużono się nimi dla dokonania odkrycia, że hiperbola to zbiór takich punktów, których różnica odległości (jako wartość bezwzględna) od obydwu ognisk jest stała (i wynosi 2a).
Jeśli się zastanowimy, to dojdziemy do wniosku, że wynika to, podobnie jak w przypadku paraboli, z tej samej prawidłowości dotyczącej jednakowej drogi przebywanej przez promienie od jednego do drugiego ogniska (na przykład na rysunku trasy '1' i '2' są tej samej długości). W przypadku hiperboli promienie te przybywają całą zakrzywioną przestrzeń i trafiają do drugiego ogniska z przeciwnej strony.
Jeszcze kilka słów o równaniu paraboli.
Estetom być może nie podoba się, że to równanie wyraźnie rózni się od równań elipsy i hiperboli. Spróbujmy zastanowić się, skąd się to bierze.
Weźmy elipsę o półosiach a oraz b, której środek symetrii przesunięty jest w prawo wzdłuż osi x o odległość równą a (elipsa będzie przechodzić przez poczatek układu współrzędnych).
Równanie takiej elipsy to:
(x - a)2
a2
+
y2
b2
= 1
Oznaczmy odległość lewego ogniska elipsy od początku układu współrzędnych przez d. Odległość tego ogniska od środka symetrii elipsy wyniesie: c = a - d.
Jak już wiemy, c2 = a2 - b2 czyli: b2 = a2 - c2 = a2 -(a - d)2 = 2ad - d2
Równanie tej elipsy możemy więc zapisać:
(x - a)2
a2
+
y2
2ad - d2
= 1
z czego otrzymamy:
y2 = 4dx -
2d2x
a
-
2dx2
a
-
d2x2
a2
Jeśli z tej elipsy będziemy tworzyć parabolę w podany już wyżej sposób (lewe ognisko pozostawimy na miejscu, natomiast prawe będziemy przesuwać do nieskończoności) to d pozozostanie bez zmian, natomiast a będzie dążyć do nieskończoności. Dla skończonych wartości x, trzy ułamki w powyższym wzorze będą dążyć do zera (bo ich mianowniki będą dążyć do nieskończoności) i otrzymamy:
y2 = 4dx
Jest to podane już wcześniej równanie paraboli y2 = 2px , gdzie 2p = 4d czyli, tak jak założyliśmy, odległość ogniska od wierzchołka paraboli wynosi p/2 = d.
Jan K. Nowakowski
Opole, 1999r.
